Como calcular PG — termo geral?

PG — termo geral: Essa fórmula serve pra encontrar qualquer termo de uma progressão geométrica (PG) sem precisar multiplicar termo por termo até che... Calcule online agora e veja o passo a passo da resolução. Utilize nossa calculadora interativa acima informando os valores conhecidos para calcular automaticamente qualquer variável com resolução passo a passo.

Qual é a fórmula de PG — termo geral?

A fórmula matemática padrão para PG — termo geral (Matemática · Progressoes) relaciona as variáveis do sistema conforme detalhado na representação matemática desta página.

PG — termo geral — Calculadora Online, Fórmula e Passo a Passo

Q: Qual é um exemplo resolvido de PG — termo geral?

Uma cultura de microrganismos começa com 3 células (a₁ = 3) e dobra de volume a cada ciclo (q = 2). No 5º ciclo: a₅ = a₁·q^(n − 1) = 3 · 2^(5 − 1) = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48 células.

Q: Quais são os erros mais comuns ao usar a fórmula de PG — termo geral?

Usar expoente n em vez de n − 1 na fórmula do termo geral, antecipando uma duplicação indevida.

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$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$

⚡ Calculadora desta Fórmula

Preencha os valores conhecidos da questão. Ao preencher todas as variáveis menos uma, a calculadora resolve a incógnita restante automaticamente com o passo a passo.

$a_n$ — termo geral (n-ésimo termo) (depende do problema, ex: metros (m), reais (R$))

$a_1$ — primeiro termo da progressão geométrica (depende do problema, ex: metros (m), reais (R$))

$n$ — posição do termo (adimensional (número inteiro positivo))

$q$ — razão (quociente comum) (adimensional (é uma proporção))

🎯 O que é e para que serve?

Essa fórmula serve pra encontrar qualquer termo de uma progressão geométrica (PG) sem precisar multiplicar termo por termo até chegar lá. Numa PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante q (diferente da PA, onde se soma uma diferença constante). É muito usada em problemas de crescimento exponencial, juros compostos, meia-vida radioativa e qualquer situação que multiplica sempre pelo mesmo fator.

🌍 Onde você vê essa fórmula na prática

Modela processos multiplicativos acelerados, como replicação biológica de células, propagação de notícias em rede ou desvalorização percentual de ativos.

📐 Variáveis e Unidades de Medida

Confira o que significa cada símbolo da fórmula e como identificá-los nos enunciados:

Símbolo	Nome	Unidade	Significado	Como Identificar
$a_n$	termo geral (n-ésimo termo)	`depende do problema, ex: metros (m), reais (R$)`	É o valor do termo que ocupa a posição 'n' na progressão geométrica — o termo que você quer descobrir.	É o número que o problema pede pra encontrar, geralmente associado a uma posição específica, como 'qual é o 10º termo?'.
$a_1$	primeiro termo da progressão geométrica	`depende do problema, ex: metros (m), reais (R$)`	É o valor inicial da sequência, a partir do qual todos os outros termos são construídos multiplicando pela razão repetidamente.	É o primeiro número dado na sequência ou o valor inicial mencionado no enunciado.
$n$	posição do termo	`adimensional (número inteiro positivo)`	Indica em que posição (ordem) o termo 'a_n' está na sequência, contando a partir de 1.	É o número da posição mencionado no problema, como '5º termo' (n = 5).
$q$	razão (quociente comum)	`adimensional (é uma proporção)`	É o valor constante pelo qual um termo é multiplicado para obter o próximo termo da progressão. Se \|q\| > 1 a sequência cresce em módulo, se 0 < \|q\| < 1 decresce, se q < 0 os sinais alternam.	Calcule dividindo um termo pelo termo anterior (q = a_2 / a_1), ou identifique no enunciado a taxa de multiplicação constante entre os termos.

📝 Passo a Passo de Como Resolver

Para calcular o termo geral 'a_n' de uma PG: 1) identifique o primeiro termo 'a_1' da sequência; 2) descubra a razão 'q', dividindo um termo pelo termo anterior; 3) identifique a posição 'n' do termo que você quer encontrar; 4) substitua esses valores na fórmula a_n = a_1 · q^(n-1) e resolva a expressão.

🧮 Exemplo Prático Resolvido Passo a Passo

Veja como os dados são aplicados na fórmula com um problema numérico resolvido do início ao fim:

Uma cultura de microrganismos começa com 3 células (a₁ = 3) e dobra de volume a cada ciclo (q = 2). No 5º ciclo: a₅ = a₁·q^(n − 1) = 3 · 2^(5 − 1) = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48 células.

💡 O que esse resultado significa na prática:

No início do quinto ciclo haverá 48 células, tendo ocorrido 4 duplicações a partir da amostra inicial.

⚠️ Armadilhas e Erros Mais Comuns de Estudantes

Fique atento a estes pontos em provas e exercícios para não perder pontuação por desatenção:

Usar expoente n em vez de n − 1 na fórmula do termo geral, antecipando uma duplicação indevida.

🔄 Variações Algébricas (Isolando Incógnitas)

Dependendo da questão, você precisará encontrar outra variável além da principal:

Isolando n

$$n = 1 + \dfrac{\log(a_n / a_1)}{\log(q)} \quad (q > 0,\ q \neq 1,\ a_1 \neq 0)$$

Isolando q

$$q = \left(\dfrac{a_n}{a_1}\right)^{\frac{1}{n-1}} \quad (\text{se } n-1 \text{ for par, existem duas raízes reais, } \pm\left(\frac{a_n}{a_1}\right)^{1/(n-1)}\text{, e o sinal de } q \text{ deve ser verificado pelo contexto})$$

Isolando a_1

$$a_1 = \dfrac{a_n}{q^{(n-1)}} \quad (q \neq 0 \text{ quando } n>1)$$

Isolando a_n

$$a_1 \cdot q^{(n-1)}$$